Teatermekanik 1

Förord

Som fysiker och forskare på teatern har jag sett exempel på att kunskaper i matematik, naturvetenskap och teknik kan öka förståelsen för det praktiska arbetet på och omkring scenen. De flesta tekniker skaffar sig med åren goda kunskaper inom sina specialområden men hinner inte alltid att tillägna sig de teoretiska grunderna.

De problem, som beskrivs i denna och följande artiklar, ligger på samma teoretiska nivå som gymnasiefysiken. I dessa artiklar görs inga försök att förklara eller härleda olika samband eller formler. Den intresserade läsaren hänvisas till en lärobok i fysik på gymnasienivå. Alla beräkningar är starkt förenklade för att öka åskådligheten. I sammanhang, som innebär risker för människor och material, krävs därför en fördjupad behandling av specialister med licensiering eller auktorisering inom området. Problemen har valts med utgångspunkt från teaterns och upplevelseindustrins värld.

Grunderna i mekanik

Isaac Newton (1642–1727) formulerade år 1686 i sitt verk: ”Philosophiæ naturalis principia matematica” ett antal lagar och principer, som kan praktiseras på teaterscenen. Han bidrog till grunden av ”den nya fysiken”, som spreds över världen av upplysningstidens filosofer och lärare under 1700-talet. Ofta med stöd av mekaniska undervisningsapparater, som pedagogiskt illustrerade principerna. Det lade grunden för en begynnande industrialisering och ett modernt näringsliv. Vi har haft alltför få folkbildare i fysik sedan dess.

Newtons första rörelselag säger att en kropp, som påverkas av yttre krafter och där summan av krafterna är noll, antingen är stillastående eller rör sig rätlinjigt med konstant hastighet.

Andra lagen säger att en kropp som påverkas av yttre krafter, vars summa F är skild från noll ges en acceleration:

Accelerationen (a) = kraften (F) delat med massan (m) eller a = F / m

Kraften F mäts i enheten newton, förkortat N, massan i kilogram och accelerationen i m/s², meter per sekund i kvadrat Alla kroppar på vår jord påverkas av en tyngdkraft eller tyngdacceleration riktad mot jordens tyngdpunkt. Om kroppen vilar på en plan horisontell yta, motsvaras tyngdkraften av en lika stor uppåtriktad kraft, en motkraft. Då ligger kroppen stilla. Om planet lutar är dessa krafter ej rakt motsatta och summan ej lika med noll. Kroppen kan glida, oftast under inverkan av en bromsande friktion. Tyngdkraften som påverkar kroppen motsvaras av en lika stor och motriktad kraft som påverkar jordklotet. Det var bland annat denna geniala slutsats, även kallad Newtons tredje lag, som ledde fram till att man kunde beräkna månens och planeternas banor runt solen.

Tyngdaccelerationen varierar vid havsytans nivå från 9,78 m/s² (meter per sekund i kvadrat) vid ekvatorn till 9,83 vid polerna, beroende av jordklotets form och jordrotationen. I följande beräkningar avrundas det till g = 10 m/s². Det ger tillräcklig noggrannhet för våra beräkningar. Varje föremål med massan m på jordytan påverkas alltså av en tyngdkraft riktad mot jordens tyngdpunkt.

Tyngdkraften F (i newton) är lika med 10 gånger massan (i kg). Det skrivs

F = g · m eller förenklat F = 10 · m

Enheten för kraft och massa ingår tillsammans med enheterna för tid (sekund) i SI-systemet, som gör det möjligt att beräkna andra fysikaliska storheter utan onödiga konstanter och omvandlingsfaktorer. En spridd ovana att mäta krafter i kg bör undvikas eftersom det kan ge upphov till missförstånd och bli en säkerhetsrisk! I länder som ännu inte infört SI-systemet fullt ut. I USA, måste omvandlingar utföras mellan feet, inch, yards, pounds, horsepower, calories, btu, gallon, once, etc. Vi är tacksamma för att slippa det.

Krafter och hängningar

Vi inleder avsnittet med hängning i två eller flera vajrar och kommer in på beräkningar, som kan vara svåra att utföra matematiskt. Då ger en grafisk lösning en praktisk framkomlig väg och tillräcklig noggrannhet! I ett diagram på rutat papper (gärna millimeterrutat) illustreras krafter med pilar av skalenlig längd och rätt riktning. Krafter och motkrafter delas upp i komposanter längs vajrarna i en kraftparallellogram. Skalfaktorer väljer man själv. Exemplen nedan visar hur det kan utföras.

Exempel 1

Man ska lyfta ett dekorelement, som väger 150 kg, i två vajrar som bildar vinkeln 60 grader mot lodlinjen. Tyngdkraft och lyftkraft är i jämvikt, båda är 1500 N, och lyftkraften fördelas lika på de två vajrarna. Illustrera tyngd- och lyftkraft med en vektor (pil) med längden l = 1,5. Komposanterna l₁ och l₂ i respektive vajers riktning bildar en kraftparallellogram enligt figuren. Med en linjal kan man avläsa längderna och med samma skalfaktor beräkna krafterna i vajrarnas riktningar. De blir de 1,5 och vajern ska alltså klara kraften 1500 N, motsvarande en belastning av massan 150 kg.

Om vinkeln ökas till 80 grader så ger motsvarande kraftparallellogram en belastning i vardera vajern på (rita med gradskiva) ungefär 4 300N eller tre gånger kraften i förra fallet. Med tillgång till en kalkylator med sinusfunktion kan man komma fram till samma resultat genom att dividera 750 (halva kraften) med sinus för 10 grader, (90 - 80) grader.

Samma beräkningar gäller då man vänder på figuren och vajrarnas gemensamma fästpunkt befinner sig överst, till exempel vid hängning av ett långsträckt dekorelement. Krafterna, som trycker ihop dekorelementet mot mittpunkten blir i det förra fallet 1300 N och det senare fallet F = 4 250 N. Då behövs alltså en stabil konstruktion.

Lägesenergi (potentiell energi), rörelseenergi (kinetisk energi), arbete och effekt

Lägesenergi frigörs då en kropp faller på grund av tyngdkraften. Samma energi eller arbete används för att lyfta upp den igen. Arbetet som uträttas är lika med kraften multiplicerad med vägen i kraftens riktning. Arbetet att lyfta massan till höjden h är

W = g · m · h eller W = 10 · m · h

vilket även är den energi som tillförts kroppen. När kroppen faller friktionslöst övergår lägesenergin till rörelseenergi. Rörelseenergi och lägesenergi mäts i newtonmeter (Nm) eller joule (J) efter den engelske bryggaren James Prescott Joule (1818–1889).

W = 1/2 · m · v² v = hastigheten

Om rörelsen sker utan friktionsförlust (= ingen värmeutveckling) är rörelseenergin hos en fallande massa lika med minskningen av lägesenergi. När den träffar och stannar på marken eller golvet övergår rörelseenergin till värme.

Flygningar

Exempel 2:

Peter Pan ska flyga över scenen upphängd i en sele som via en friktionsfri trissa rör sig längs en vajer som är uppspänd över scenen. Horisontella avståndet mellan vajerfästena är 10 m och höjden över scengolvet är 4,0 respektive 3,0 m. Vajern löper över en lättrörlig trissa och är motviktad. Peter, som väger 75 kg inklusive selen, hoppar av när trissan är 2,0 m över scengolvet. Vilken kraft förmedlas i detta ögonblick längs vajern till fästena?

Peter Pan hoppar när han kommit till 2/3 av sträckan eller efter 6,7 m. Ögonblicket innan är tyngdkraft och resulterande motkrafter lika stora och motriktade, vilket framgår av figuren. Tyngdkraften har värdet 75 · 10 N och vägs upp av en lika stor och motriktad lyftkraft, som representeras av en vektor med längden 7,5 riktad uppåt. Denna delas upp i en kraftparallellogram i två komposanter längs vajern. Längden av kraftvektorerna är vardera 1 200 N. Som motvikt behövs alltså 120 kg. Motvikten har efter flygningen lyfts ca 40 cm om vajern inte töjt sig. Detta kan mätas med en linjal eller beräknas med Pythagoras sats om man behärskar trigonometri. När Peter Pan släppt trissan försvinner vajern och trissan ur synfältet. Skillnad i lägesenergi mellan utgångsläget och slutläget strax innan Peter Pan lämnar vajern är

75 · 10 · 2,0 – 120 · 10 · 0,4 = 1020 Nm.

Detta har övergått i rörelseenergi, fördelat på både Peter Pans och motviktens hastigheter. I praktiken försvinner en del i friktionsvärme.

Exempel 3:

En slarvig tekniker tappar en skruvmejsel, som väger 0,3 kg, från tågvinden. Den träffar scengolvet 20 m ned med spetsen före och tränger ner i golvbrädorna ca 1 cm. Med vilken hastighet träffar den golvet och vilken kraft utvecklas? Vi bortser från luftmotståndet.

Lägesenergin 0,3 · 10 · 20 Nm = 60 Nm övergår i rörelseenergi. Det ger sluthastigheten lika med kvadratroten ur 120 / 0,3 eller 20 m/s (pröva med att sätta in i W = 1/2 · m · v²). När skruvmejseln hamnar på spetsen och tränger in 0,01m i scengolvet så utvecklas kraften (i medelvärde) 6000 N. Det motsvarar tyngden av en massa på 600 kg eller att man slår på skruvmejseln med en träklubba, som väger 12 kg med en hastighet av 3,2 m/s. Den som klarar det slår utan problem hatten av gubben på nöjesfältets styrkemätare.

Resonemanget gäller endast om ingen eller en obetydlig del av energin omvandlas till värme, vilket gäller i detta fall. Om energi försvinner som värme blir det fel, som framgår av ett följande exempel.

Exempel 4:

Ett rå är belastat med 150 kg och motviktat med 140 kg. En scentekniker lossar bromsen och rået rör sig nedåt i en accelererad rörelse. Efter 5 sekunders fall försöker han bromsa rörelsen när lasten befinner sig 1,0 m över scengolvet. Teknikern väger 65 kg. Hinner han stoppa rörelsen innan lasten slår i scengolvet?

Accelerationen a = F/m (150 – 140) · 10 / (150 + 140) = 0,34 m/s².

Hastigheten efter 5,0 sekunders fritt fall är 5,0 · 0,34 = 1,7 m/s. Rörelseenergin för systemet är 1/2 · 290 · (1,7)^2.= 419 Nm. Med en meters bromssträcka krävs kraften 419 N, vilket motsvarar tyngdkraften på massan 42 kg.

Han får bromsa med 2/3 av sin kroppsvikt. Med ett fast grepp om hamparepet följer han med upp 2/3 meter. Alltså en klar olycksrisk! Om han låter repet glida i händerna blir det samma effekt som att trycka båda händerna hårt mot en het kokplatta i en dryg (!) sekund. Ingen klarar det! Om han väljer att stå kvar på golvet och bromsa rörelsen med sin egen armstyrka så måste han utföra samma arbete som att hissa upp 42 kg till en meters höjd. Och detta på mindre än 1,2 sekunder.

Exempel 5:

Tarzan, med massan m, ska svinga sig i en lian från en plattform 5,0 m över marken och rädda Jane från ett lejon, som anfaller henne på marken. Vilken hastighet har han i landningsögonblicket?

Skillnaden i lägesenergin mellan utgångsläget och landningsögonblicket är

W = (10 · m · 5,0) Nm

I landningsögonblicket har lägesenergin övergått i rörelseenergi = 1/2 · m · v²

Hastigheten v blir kvadratroten ur 100 (m/s)² eller 10 m/s, vilket är samma som 36 km/h. Det är lika med medelhastigheten för en 100-meterslöpare i världsklass. Lägg märke till att massan m ingår i lägesenergin och rörelseenergin och när man sätter dessa lika så har massan ingen betydelse för resultatet. ”Tarzan” löper klar risk att ramla omkull vid landningen eftersom det är svårt att bromsa rörelsen tillräckligt snabbt! Kolliderar han med Jane så får lejonet två gratismiddagar.