Teatermekanik, del 3

Åke Svenstam, f d universitetslektor, Lund

ake.svenstam@miljo.lth.se

Teatermekanik 3

Detta är det tredje avsnittet i teatermekanik. Efter ett fjärde avsnitt fortsätter serien med ljusets fysik och ljudets fysik. De två tidigare avsnitten har behandlat krafter, rörelse- och lägesenergi samt effekt. Frågor från läsekretsen med anknytning till innehållet i serien är mycket välkomna. Adressen finns i underskriften.

Rörelsemängd och stötkrafter

Stötar kan vara av olika slag. Den enklaste formen är en rak central stöt där krafterna verkar i en riktning mot tyngdpunkten. En stöt mellan två biljardklot är ett bra exempel. Kloten är sfäriska och elastiska. Kontaktytan är vinkelrät mot klotens radie genom tyngdpunkten. I en stöt med två klot blir summan av rörelsemängderna (även kallat impulserna) konstant. När två elastiska klot med lika massor kolliderar i en rak central stöt tycks båda kloten byta hastigheter med varandra.

För två kroppar med olika massor m₁ och m₂ som rör sig med olika hastigheter v₁ och v₂ gäller:

m₁ · v₁ + m₂ · v₂ = m₁ · v₃ + m₂ · v₄ (summan av rörelsemängderna är konstant)

där v₁ och v₂ är hastigheterna före och v₃ , v₄ hastigheterna efter stöten.

En ändring av rörelsemängd kräver en yttre kraft F, som verkar på massan m under tidsmomentet t₂ – t₁

m ^. (v₂ – v₁) = F ^. (t₂ – t₁)

I detta sammanhang kan den kallas stötkraft. v₂ – v₁ är hastighetsskillnaden före och efter kraftpåverkan

Formeln visar att ju kortare tid kraften verkar desto större kraft. Därför byggs moderna bilar så att man förlänger tiden för kraftpåverkan på passagerarna med deformationszoner på fordonet.

Exempel 10

Tarzan har behandlats i ett tidigare exempel. Här kommer han svingandes i en lian och har hastigheten 10 m/s när han ska rädda Jane ur lejonets gap. Han fångar in Jane med sin fria arm utan att röra vid marken och de försvinner tillsammans från platsen hängande i lianen. Vilken gemensam hastighet får dom och vilken kraft behöver han använda? Tarzan väger 90 och Jane 60 kg. Stöten är oelastisk och de lämnar scenen med hastigheten v.

90 ^. 10 + 60 ^. 0 = (90 + 60) · v

v = 6 m/s

Om tiden t₂ – t₁ för att fånga in Jane är 0,10 sekunder (Tarzan rör sig ca 0,8 m och Jane ca 0,3 m på den tiden), så får han utöva kraften F på Jane.

90 (10 – 6) = 0,10 F

Det ger F = 3 600 N. En övermänsklig prestation av Tarzan, som förmodligen skulle lämna Jane med allvarliga kotfrakturer.

Exempel 11

I ett annat tidigare exempel skjuts kanonkungen, Mr Fire Ball med vikten 75 kg, ur en kanon med utgångshastigheten är 10 m/s och utskjutningsvinkeln 45 grader. Den horisontella och vertikala hastighetskomposanten är båda v_x0 = v_y0 = 7,0 m/s. Kanonen, som väger 225 kg, får en rekyl, som ger den en horisontell hastighet v₂ i motsatt riktning förutsatt att den rullar friktionslöst. Vilken blir hastigheten v₂ ?

Före utskjutningsögonblicket är summan av rörelsemängderna = 0. Efteråt beräknas de med formeln:

m₁ · v₁ + m₂ · v₂ =0;

Med insatta världen blir

75 ^. 7,0 + 225 v₂ = 0;

och v₂ = - 1,75 m/s;

Minustecknet indikerar att kanonen rör sig i motsatt riktning med hastigheten 1,75 m/s. Det är lämpligt att förankra kanonen stadigt så att den inte åstadkommer någon skada. Då riskerar han inte heller att hamna utanför skyddsnätet.

Vi går vidare i beräkningarna av Mr Fire Balls resa. Vi antar att kanonröret har längden 2,0 m. och kroppen accelereras till en horisontell och en vertikal hastighet, båda 7,0 m/s. Kanonen är fast förankrad i golvet och accelerationen är konstant från 0 – 7,0 m/s. Medelhastigheten under utskjutningen är 3,5 m/s. Det ger en tid i kanonröret på 0,57 s och ett medelvärde för den horisontella kraften F_h

75 · (7,0 – 0) = F₂ · 0,57 och F_h = 75 · (7,0 – 0) / 0,57 = 921 N

Horisontella accelerationen a = F_h / m ger a = 12,2 m/s²

Kraften på kanonlavetten blir lika med F_h men motsatt riktad. Till den vertikala accelerationen kommer även tyngdaccelerationen och blir 12,2 + 10 = 22,2 m/s². Den resulterande accelerationen (vektorerna ska adderas vektoriellt eller grafiskt) blir 25,3 m/s² eller 2,5 g, som man skriver i flygsammanhang Kroppen blir då 2,5 gånger så tung i utskjutningsögonblicket. En jaktpilot utsätts för över 6 g i branta svängar och 2,5 g verkar inte orimligt. Jaktpiloten skyddar sig med en tryckdräkt som hindrar blodet att försvinna ner i benen. Det bör kanske ”Mr Fire Ball” tänka på. Utskjutningsmekanismen bör ge honom en konstant acceleration under hela tiden i kanonröret. Det är ett tekniskt problem, som sannolikt går att lösa med tryckluft.

Exempel 12:

Trapetsartisten avslutar sitt nummer med att falla från 10 m höjd ner i ett skyddsnät med elastiskt fjädrande upphängning, som är uppspänt 2,0 m över manegen. Han testar nätet genom att lägga sig i det och konstaterar att nätet sänks under hans kropp med 0,5 m. Kommer han att överleva hoppet?

Hans tyngd är m · 10 N och nedtryckning 0,3 m ger en fjäderkonstant k:

k = 10 · m / 0,3

Fallhöjden är 10 – 2,0 eller 8,0 m. Nätets lyftkraft på honom är k multiplicerat med nedtryckningen x. Arbetet, som nätet utför för att bromsa hastigheten till noll, är lika med förändringen i lägesenergi från (10 – 2,0) m. Vi har bortsett från luftmotståndet. Det utförda arbetet av nätet är

W = 1/2 · k · x · x = 1/2 · 10 · m / 0,3 · x² =· 10 · m · 8.0 och ger x = 2,2 m

Tyvärr räcker inte avståndet till manegen. Det fattas 0,2 m. Det blir en duns i sågspånen. Hastigheten kan beräknas till 12,6 m/s när han träffar nätet. Faktorn 1/2 i uttrycket för W är den samma, som ingår i formeln för kinetisk energi och i accelererade rörelser. Se även i exempel 6 i förra numret av Proscen.

I slutscenerna på Flygande holländaren offrar sig hjältinnan Senta genom att kasta sig över relingen på skeppet för att försvinna i havet. Primadonnan klagade efter genrepet att hon landat på ett alltför hårt underlag. När primadonnan på premiären svingade sig över relingen och landade hon till sin häpnad på ett antal resormadrasser, staplade på varandra. Senta studsade upp och syntes av publiken några gånger till, innan ”havet slukade” henne. Historien är alltför bra för att göras räkneexempel på. Berättare är Birgit Nilsson. Om jag inte minns fel så hände det på Metropolitan i New York, så ingen skugga må falla på någon av läsarna.

Exempel 13:

En leksak i form av en reaktionsdriven raket bygger på att man med cykelpunp pumpar upp lufttrycket i en behållare. I botten av raketen pressar lufttrycket ut vattendroppar. Vi antar att utströmningen är 1,0 kg vatten per sekund och hastigheten för dropparna är 20 m/s relativt raketen.

Med en konstant utströmningshastighet under tiden 1,0 sekund erhålles:

F · 1,0 = 1,0 · (20 – 0) = 20 N

Raketen får högst väga 2 kg för att kunna lyfta. När den väl kommit en bit på vägen minskar massan och raketen accelererar ännu snabbare. På motsvarande sätt beräknas pyrotekniska produkters luftfärd. Det är massförlusten per tidsenhet och utströmningshastigheten av de förbrända gaserna som ger accelerationen. Det fungerar såväl på jorden som ute i rymden.

Med samma metod kan man räkna ut den kraft som fordras för att hålla emot kraften i munsstycket på en brandslang. Med 20 l/s och utströmningshastighet på 20 m/s blir kraften 400 N, som motsvarar tyngden av en massa på 40 kg.

Exempel 14

Två dansare, en manlig med vikten m₁ = 65 kg och en kvinnlig med vikten m₂ = 45 kg ska förenas i en gemensam piruett på stället. Hur bör utgångshastigheterna avvägas?

m₁ v₁ + m₂ v₂ = (m₁ + m₂) · 0

Det ger med insatta värden att v₁ = – 45/65 · v₂

Stöten är att betrakta som oelastisk och rörelsen är tänkt att resultera i en roterande rörelse. Till detta återkommer vi i nästa avsnitt.