Pendeln

Pendeln består av en massa som svänger kring en tyngdpunkt eller axel. I den enklaste formen är massan koncentrerad till en punkt och längden av pendelarmen är avståndet från den punktformade massan till svängningsaxeln. En sådan pendel kallas plan matematisk pendel. Svängningstiden eller tiden för en svängning bestäms i detta fall av

T = 2π ^· kvadratroten ( l / g )

där l är pendelarmens längd och g är tyngdaccelerationen = 10 m/s². Formeln gäller för utslagsvinklar mindre än ca 10 grader men kan ändå tillämpas på större vinklar om man ger avkall på noggrannheten. Det är intressant att notera att i denna ekvation ingår inte massan. Parentetiskt kan nämnas att det är genom pendelförsök som man beräknar värdet på tyngdaccelerationen på olika platser på jorden. Med kännedom om Newtons gravitationslag och värdet på gravitationskonstanten kan man beräkna jordens (och andra himlakropparnas) massa.

Det är alltså samma svängningstid oavsett om det är en liten eller stor massa, förutsatt att luftfriktionen inte påverkar rörelsen. För härledning av sambandet hänvisas till någon av de vanliga läroböckerna i fysik för gymnasiets naturvetenskapliga program.

I en mera generell form består pendeln av en kropp med fysisk utsträckning. Genom kroppen går en axel som pendeln svänger kring. Den kallas rotationsaxel. Svängningsrörelsen upphör på grund av friktion och luftmotstånd. Tyngdpunkten befinner sig då rakt under svängningsaxeln.

Exempel 16

En trapetsartist ska gunga med en svängningstid av 3 s. Hur lång pendellängd krävs?

I detta fall är det inte enkelt att bestämma en pendellängd och tyngdpunkt med större noggrannhet. Vi har att göra med en fysisk pendel som kräver en mera komplicerad matematisk behandling.

Men låt oss ändå pröva samma formel, där l står för avståndet mellan artistens tyngdpunkt och trapetsens fästpunkt:

l / g = (T / 2π)² = 0,23 s² och l = 2,3 m. (g = 10 m/s²)

En trapetsartist kan flytta punkten för den svängande massan med ungefär plus/minus 1,0 m genom att hänga i raka armar eller gunga stående på trapetsstången. Han/hon kan därför påverka svängningstiden inom intervallet 3,6 – 2,2 s. Det krävs omsorgsfulla justeringar för att synkronisera två trapetsartisters rörelser med en fångare i en trapets och en annan som utför två eller tre volter i luften.

Svängningstiden för en pendel bestäms av pendelarmens längd och tyngdaccelerationen. Om man kopplar två pendlar till varandra via en fjäder eller elastisk tråd får man ett svängande system som kan röra sig på ett till synes oregelbundet sätt. Svängningsenergin flyttas mellan pendlarna och den sammanlagda rörelsen ser närmast kaotisk ut. Om ena pendelns massa är stor jämfört den andras så ser det märkligt ut när den tunga pendeln svänger med små vinklar och den lätta pendeln svänger med stora utslag. Den matematiska behandlingen blir därför komplicerad.

Exempel 17

En ljudtekniker riggar mikrofonen i en 10 m lång sladd i ett rå som svänger med 10 m pendellängd. Rået väger med belastning 100 kg och svänger med knappat synliga utslagsvinklar med svängningstiden 6,3 sekunder (kontrollera!). Mikrofonen väger 0,1 kg och verkar först hänga helt stilla. Efter en knapp minut kommer mikrofonen i våldsamma svängningar med en svängningstid på något mer än 6 sekunder. Svängningsenergin från det tyngre systemet överföres till mikrofonen och dess utslagsvinklar växer och blir hundrafalt större.

Liknande resonemang kan föras när det gäller massor i fjädrande upphängningar. En skådespelare sitter i en gunga som är upphängd i ett gummirep. Vi antar att personen väger 75 kg och tynger ner gungan med 1,0 m då han/hon sätter sig i den. Tyngdkraften är 750 N och fjäderkonstanten k blir 750N delat med 1,0 m eller 750 N/m. Tiden för en svängning erhålles i en liknande formel som för den matematiska pendeln nämligen

T = 2π · kvadratroten (m/k)

I jämförelse med den matematiska pendeln så är l ersatt av m och g med k.

Med insatta värden blir T = 6,3 · kvadratroten (75 / 750) = 2,0 s

Svängninstiden blir 2,0 sekunder. Detta förutsätter begränsade utslag på rörelsen och kan inte användas på ett bungyjump där gummirepet inte är sträckt hela tiden.

Anmärkning: Exemplet visar att man kan kontrollera sina formler genom att studera dimensionerna på de storheter som ingår. (m/k) har dimensionen (massa) / (kraft) · (längd) / (längd)

(Kraft) är det samma som (massa) gånger (acceleration), dvs (massa) gånger (längd) delat med (tid)². Kvoten (m/k) blir då (tid)² och kvadratroten ur det blir (tid), vilket var det som söktes. Denna form av dimensionsanalys är ett viktigt hjälpmedel för fysikerna för att kontrollera att man resonerat rätt.

Centrifugal- och centripetalkrafter

Enligt Newtons första rörelselag så rör sig en kropp i en rak och likformig rörelse om den inte påverkas av en kraft. En person som står på en roterande karusell skulle enligt dessa lagar fortsätta med konstant hastighet i tangentens riktning om ingen yttre kraft verkade på den. Om personen håller sig kvar på karusellen måste han använda en kraft, centripetalkraft. Den fiktiva kraft (ingen verklig kraft) som synes kasta honom av karusellen kallas ofta något oegentligt för centrifugalkraft.

F = m ^. R ^. w²

Där w = vinkelhastigheten för rörelsen = 2 π gånger frekvensen eller varvtalet, R = radien och m = massan. R · w = v är periferihastigheten och ekvationen kan skrivas

F = m ^. v²/ R v = periferihastighet

Exempel 18

En berg-och-dalbana ska byggas med en loop med diametern 20 m. Loopens lägsta punkt ligger i markplanet. Från vilken höjd behöver en vagn lägst starta ifrån för att genomföra loopen?

Vagnen med passagerare måste ha en sådan hastighet att tyngdaccelerationen ska vägas upp av en minst lika stor acceleration riktad uppåt. Vagnens kraft mot banan måste alltså överstiga tyngdaccelerationen 10 m/s².

C = v² / R = 10, vilket ger v = 10 m/s eller 36 km/h i banans högsta punkt.

Rörelseenergin, E = 1/2 · m · v², är lika med minskningen av lägesenergin om vagnen rör sig friktionslöst. Den måste starta från minst 5,0 meter ovan loopens högsta punkt eller från 25 m höjd över marken.

Roterande rörelser och tröghetsmoment

På scenen förekommer flera roterande föremål, från en stor vridscen och till roterande lampor och discokulor. När det rör sig om stora roterande massor kan det finnas skäl för enkla överslagsberäkningar för att hålla krafter och vridmoment under kontroll.

Tröghetsmoment för kroppar av olika former, som roterar kring en axel genom tyngdpunkten kan sökas i tekniska tabellverk. Tröghetsmomenten kan teoretiskt beräknas för cirkulära eller kvadratiska skivor, sfäriskt klot, kuber, mm.

Tröghetsmomentet för plan cirkulär skiva är

I = ½ · m · R²

Rotationsenergin för en plan skiva får man genom

W = 1/2 · I · w² eller ½ · I ·(2π · f)²

Där w är cirkelfrekvensen och f är rotationshastigheten uttryckt i varv/s

Exempel 19

En vridscen kan beskrivas som en plan skiva med diametern 10 meter och massan 7 000 kg. Vi räknar med ett friktionsfritt (i praktiken orimligt!) förlopp. Skivans radie R = 5,0 m och massan m = 7 000 kg. Vilken rotationsenergi har den om vinkelhastigheten är 30⁰ per sekund eller 1/12 varv/s.

W = 1/2 · (1/2 ·7 000 · 25) · (2 · 3,14 : 12)² = 11 000 Nm.

Om vridscenen ska bromsas upp på 5,0 sekunder utvecklas en bromseffekt på 2 200 W (1 Nm = 1 Ws) eller 2,2 kW. Lika stor effekt krävs för att sätta fart på den om vi bortser från friktionen. Låt oss anta att man försöker stoppa rotationen med kraft riktad mot rörelsen vid scenens kant krävs F = 2 200/5 = 440 N. Det är tyngden av massan 44 kg! Kraften multiplicerad med längden av radiens eller hävarmens längd kallas vridmoment.

Exempel 20

Ett dekorelement står på en kvadratisk bottenyta med måtten 1,0 x 1,0 m med en sida längst ut i kanten av en vridscen med diametern 17,0 m. Höjden är 6 m och elemetets massa är 100 kg med tyngdpunkten i elementets mittpunkt. Rotationshastigheten är ett varv på 20 sekunder eller 0,05 varv/s. Kommer det att glida av vridscenen eller välta? Elementets tyngdpunkts rörelseradie är 8,0 m och w = 0,31 rad/s

Det ger en radiell acceleration från vridscenens rörelseaxel 8,0 · (0,31)² = 0,079 m/s² och motsvarande en kraft 79 N. Kraften mot underlaget är massan x tyngdaccelerationen = 1000 N. För att den inte ska glida av måste friktionskoefficienten vara högre än 79/1000 = 0,079 vilket är enkelt att uppnå.

Kraften 79 N i dekorelementets tyngdpunkt verkar med hävarmen 3,0 m. Halva längden av bottenplattan är 0,5 m. För att välta elementet fordras kraften 0,5 : 3 · 1000N eller 167 N. Det är ingen risk att elementet välter utåt. (Rita en figur!).

Kraften på elementet på grund av accelerationen (och retardationen) av vridscenen får inte heller överskrida 167 N. Med massan 100 kg får periferiaccelerationen inte heller överskrida 1,67 m/s² vilket motsvarar vinkelhastigheten 1,67/8 rad/s² eller omkring 0,21 rad/s². Start och uppbromsning måste ske mjukt under mera än 1,5 sekunder. Det är ett tuffare krav. Elementet bör därför skruvas fast eller belastas med pundare, som sänker tyngdpunkten.